jueves, 20 de enero de 2011

Número de meses

Un capital Co se incrementó un 40% en n meses trabajando en capitalización compuesta a un tipo de interés fijo del 9% efectivo anual. Determinar n sabiendo que el montante final alcanzado fue de 105.000 €.



Como nos dicen que Co se incrementa un 40% para llagar a convertirse en Cn, obtengo
la siguiente expresión.

Cn=1,4*Co

Por tanto Co=Cn/1,4

Y Cn sabemos que es:

Cn=105.000 €.

Ahora ya tendremos calculado Co. Y sabiendo Co, Cn, y el tanto i, podemos calcular n
con la función =NPER.

Al usar NPER poner el va negativo, y en pago no pongais nada porque no es una renta.

Si se tratara de despejar n a mano, se tendrían que usar logaritmos, tal y como se
explica en algunos problemas del Libro. Pero la suerte es que tenemos en Excel una
función maravillosa que se llama NPER que nos evita tener que estar con ese lio de los
logaritmos.

Si alguien lo quiere hacer con logaritmos para comprobar, no lo hagáis usando una
calculadora. Podeis usar el propio Excel. La función del logaritmo neperiano es Excel es:

=LN(nº)


Método 1

La forma más rápida de resolver este problema es con la función NPER.

Un método es simplemente multiplicar el NPER que obtienes en años, por 12, y así lo pasas a meses.

=12*NPER(0,09;;-75000;105000)




Método 2

O bien, podemos trabajar con el tanto mensual equivalente al 9% anual:

=NPER(1,09^(1/12)-1;;-75000;105000)





Método 3


Escribimos los datos: En C33 ponemos los 105.000 euros. En C31 ponemos el 9%.
Ahora calculamos Co. En C29 ponemos la fórmula:
=+C33/1,4
En la celda C30 nos inventamos la duración de la operación, expresada en años. Esta será la celda que luego calculará Solver. Pero de entrada nos tenemos que inventar el dato, por ejemplo, ponemos 10.
En la celda C32 calculamos con FORMULA el montante, con la expresión:
=+C29*(1+C31)^C30
En C33 ponemos el objetivo de montante. Lo escribimos a mano: 105.000.
En la celda C34, calculamos la diferencia con la fórmula:
=+C33-C32
Como nos hemos inventado el dato de la duración, la diferencia no es cero.
Ahora vamos a pedir a Solver que haga esa diferencia cero, para así calcular la duración de la operación financiera.

Finalmente solo te falta multiplicar el número de años por 12, para obtener el número de meses, que es lo que pide el problema.



Cuando uses Solver o 'Buscar Objetivo' es conveniente hacer una captura de pantalla para que quede documentado de donde sale la solución.


Lo de usar la Diferencia es una forma de trabajar. También podríamos hacer que Solver intentara igualar el montante final a la cifra de 105.000 euros. En este caso, incluso se vería más lógico. Pero el hecho de acostumbrarnos a usar la DIFERENCIA es para los casos en los que no tenemos una cifra tan redonda como 105.000 euros. Imagína que la cifra objetivo fueran 105.746,923847024875280234. Como seguramente no meteríamos a mano todos los decimales en la ventana del Solver, ya estaríamos cometiendo un ligero error. Ese error en ocasiones puede ser despreciable, pero en otras ocasiones puede amplificarse al intentar Solver determinar la variable que buscamos. Además esta la incomodidad de meter tanto numerito a mano. Por tanto, queda muy bien usar lo de la DIFERENCIA, ya que si hacemos que la diferencia sea cero, estaremos consiguiendo que nuestro valor objetivo se iguales a nuestra celda que tiene la fórmula que queremos que llegue a valer lo que queramos.
El UNICO dato que te tienes que inventar al usar Solver o 'Buscar Objetivo' es el valor de la variable que quieres calcular. En este caso n. Los demás valores deben estar relacionados entre si mediante fórmulas.
Vamos a explicar el funcionamiento de Solver usando como ejemplo este problema.
Solver hace lo que harías a mano probando diferentes valores de n hasta llegar a conseguir que el objetivo (M) sea 105.000 euros.
Vamos a seguir los siguientes pasos realizados a mano.
  1. Primero creamos las celdas de este ejercico tal y como se explió en el mensaje anterior.
  2. Como valor incial de n nos inventamos un valor, por ejemplo 10. En la celda C12 ponemos a mano 10. Con ello vemos que la 'Diferencia' es:-72.552,28. Se obtiene un valor negativo que quiere decir que el montante al que llegamos capitalizando en 10 años es superior al previsto como objetivo. Se llega a un montante de 177.552,28, en lugar de llegar a 105.000 euros. Por tanto, la conclusión es que "nos hemos pasado".
  3. Vamos a rebajar el núemro de años, y vamos a poner a mano: 1 año. Por tanto en la celda C12 ponemos 1.
  4. Con esto conseguimos una 'Diferencia' de 23.250, que es positiba, e indica que el  montante alcanzado es 81.750, que es inferior al objetivo. Por tanto, esta vez "nos hemos quedado cortos".
  5. Ya sabemos que n está entre 1 y 10. Vamos a probar ahora con n=5.
  6. Con n=5 obtenemos una 'Diferencia' negativa (-10.396,80) que indica que "nos hemos pasado", ya que el montante alcanzado (115.396,80) supera el objetivo previsto (105.000). Con n=5 hemos capitalizado demasiados años.
  7. Ya sabemos que n ha de estar entre 1 y 5. Probemos con n=3.
  8. Para n=3 años volvemos a obtener una diferencia positiva (7.872,82), que indica que el montante obtenido (97.127,18) es inferior al objetivo (105.000).
  9. Por tanto ya sabemos que n ha de estar entre 3 y 5.
  10. Probemos ahora con n=4.
  11. etc. etc.
Como ves, vamos dando valores a n, y vamos viendo si "nos pasamos" o "nos quedamos cortos", de esta forma, acotando por exceso y por defecto, al final llegamos al verdadero valor de n. Resulta que n en años es 3,904400457. (Aunque luego el problema lo que pide son meses).
Por tanto, vemos que Solver hace lo que nosotros haríasmos a mano, probando por exceso y por defecto, y acontando, pero lo hace tan rápido que nos parece instantáneo. Además esto nos permite comprender mejor porque en ocasiones es necesario pedirle a Solver que mejore la precisión. Es como decirle que sigua afinando en su acotación por exceso y por defecto, para llegar a obtener un valor con mayor precisión.


Método 4




Pregunta

Una señora va a las Rebajas a comprarse un bolso. Se acerca a una sección donde ve el cartel que dice: "Rebajas del 20%". La señora compra un maravilloso bolso por el que paga 60 euros. Al llegar a su casa, se pregunta: ¿Cuánto valía el bolso antes de las Rebajas?. Para contestar a esta pregunta la mayoría utilizamos el método tradicional: "rascar la etiqueta para ver el precio que había debajo". Pero si quieres hacer el cálculo, ¿qué operación tendrás que hacer?. ¿Cuánto te da el resultado?


  • 72 euros costaba el bolso antes de las rebajas
  • 75 euros constaba el bolso antes de las rebajas

Se admiten y agradecen comentarios.


Respuesta

La respuesta es que valía 75 euros. Si tenemos en cuenta que sabemos que 60 euros
vale tras un 20 % de descuento, podemos decir que 60€ es el 80%. Para sacar el importe
del 100% solo tienes que hacer una regla de tres simple: 60*100/80=75

Comentario

Muy bien resuelto.

Lo único que debemos acostumbrarnos a no multiplicar o dividir entre 100, al manejar
porcentajes. Debemos siempre trabajar en tantos por uno. Me explico: el 20% de 75 se
calcula así: 75*0,2=15, que es mucho más elegante que hacer esto: 75*20/100, aunque
lógicamente la respuesta sigue siendo 15.

Pero salvo ese pequeño comentario. Te felicito por tu cálculo. Vamos a explicarlo un poco
más.

No es lo mismo aplicar un porcentaje sobre un importe o sobre otro. El 20% de descuento
del bolso se aplicaba sobre el precio P, que es el precio antes de las rebajas, y no es lo
mismo que aplicar el 20% sobre 60 euros que es el precio del bolso ya rebajado.

Por tanto la ecuación es:

P-20%*P=60

Esa ecuación, dice que el precio P (antes de las rebajas ) menos el 20% de P ha de ser
igual al precio ya rebajado (60).

Esto es igual a:

P-0,2*P=60

Lo que hemos hecho es poner el 20% en forma de tanto por uno, que es lo que realmente
es.

P(1-0,2)=60

Lo que hemos hecho es sacar factor común la P.

0,8*P=60

Ya que 1-0,2=0,8.

P=60/0,8

Hemos pasado dividiendo el 0,8.

De donde:

P=75 euros

Que es el precio del bolso antes de las rebajas.

Por tanto, no es lo mismo aplicar el 20% sobre 75 euros, que hacerlo sobre el precio ya
rebajado (60).

El 20% de 60 es 12. Y 60+12=72. Por eso es muy frecuente encontrarnos con esta
equivocación.

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Y después de toda esta disertación diréis que para que este inciso. Pues es para
comentaros que en este problema, y en otro de esta misma práctica hay que tener
cuidado en no caer en este error.

Ojo que nos dicen que Co se incremento un 40% y alcanzó un montante Cn=105.000 €.
Por tanto estamos en el mismo caso de la señora y el bolso de las rebajas.

11 comentarios:

  1. Hasta ahora se sacar con excel el tipo de interés conociendo n, pero a la inversa no consigo hacerlo... si alguien sabe como... El capital inicial se puede obtener con 105000/1,4.

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  2. hola Miguel. Yo la n en excel la he sacado con la función NPER, y me da uno de los posibles resultados...(espero que sea eso lo que preguntas!!)Gracias por el truquito de cómo sacar Co, porque hasta que no lo has dicho, no sabía hacerlo.

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  3. De nada, para eso estamos.... a mi es que excel me puede muchas veces... y el tema de las funciones la mitad ni las entiendo, ni se para que sirven... gracias a ti por cómo sacarlo!

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  4. Hola! estoy como Miguel al pricipio, he probado el nper, pero me da error (yo creo que por la tasa) porque el resto es sustituir igual que en la formula de la tasa. Gracias!!!!

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  5. Yo he utilizado Buscar Objetivo... Una vez tienes el capital inicial, solo tienes que hallar el número de meses q hacen falta para que ese Cap. incial de ese Cap Final

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  6. gracias!!! al final lo he sacado con NPER, que no ponía la tasa en su sitio. pero tendré que mirar buscar obejeto bien en cuanto tenga un hueco.

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  7. Profesor este problema no me sale de forma analítica y no entiendo el porqué me queda
    Log(105000/75000)/Log(1+0,09)=n y no me da ese resultado ni de lejos. me da 3.904400537

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  8. Hola José Manuel.

    Si usas el 9% efectivo anual el resultado que obtienes son años. Como te piden meses, te falta multiplicar por 12.

    Un saludo.

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  9. gracias a su ayuda ya me salió, muchas gracias profesor

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  10. buenas tardes
    A la hora de aplicar logaritmos para despejar n ¿Son logaritmos log o ln en la calculadora?
    Muchas gracias

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    Respuestas
    1. Hola Cris.

      Da igual el tipo de logaritmo que tomes. Puedes tomar logaritmo decimal que en la calculadora suele poner log, pero también puedes tomar logaritmo neperiano, que en la calculador suele poner ln.

      Eso si, como son dos logaritmos, ambos deben ser del mismo tipo.

      Un saludo.

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