jueves, 20 de enero de 2011

Premio en dos modalidades

Un señor debe elegir entre dos modalidades de premio. Modalidad A: Recibir hoy 100.000 €. Modalidad B: Hoy debe pagar 10.000 € y dentro de 9 meses recibirá M €. Calcular M para que ambas alternativas le resulten financieramente equivalentes valorando al 10% efectivo anual.




En la Modalidad A los 100.000 € se reciben en t=0, y no existe ninguna otra cantidad.

En la Modalidad B en t=0 no se reciben, sino que se pagan 10.000 €, y luego es es t=9 meses, cuando se recibe una cantidad de M euros.

Nos piden calcular la cantidad M que hace que ambas modalidades nos resulten financieramente equivalentes valorando al 10% efectivo anual en capitalización compuesta.

Esto quiere decir que ambas modalidades deben ser equivalentes (iguales) valorando en cualquier punto del tiempo que se elija. Normalmente los puntos de valoración son el origen de la operación (t=0) y el final (t=n). En este caso es preferible valorar en t=n, ya que así es más cómodo despejar M.

Equivalencia Financiera en t=9

Valorando en t=9 meses, lo que debemos hacer es igualar ambas modalidades de pago valoradas ambas en t=9 meses, aplicando en la valoración un 10% efectivo anual en capitalización compuesta.

Modalidad A (en t=9) = Modalidad B (en t=9)

100000(1+0,1)^(9/12)=-10000(1+0,1)^(9/12)+M

De ahí despejamos M.

Equivalencia Financiera en t=0

Si hacemos la Equivalencia Financiera en t=0 tendríamos:

100000=-10000+M(1+0,1)^-(9/12)

Despejando M obtendríamos el mismo valor que anteriormente, ya que podemos observar que ambas ecuaciones son en realidad la misma, con la diferencia que en una de ellas se múltiplia término a término respecto a la otra por 1,1^0,75.

Excel

Al resolver este ejercicio con Excel podemos utilizar el cálculo de M tal como se indica en la explicación anterior, o bien resolverlco con Buscar Objetivo o Solver.

Si usamos Buscar Objetivo o Solver podemos plantear ambas modalidades e inventarnos el importe de M. Luego calculamos el Valor Actual (en t=0), o bien el Valor Final (en t=9) de ambas modalidades. Calculamos la diferencia de Valores Actuales, o bien calculamos la diferencia de Valores Finales y pedimos a Buscar Objetivo o a Solver que haga que la diferencia sea cero, y que para ello calcule el valor de M.

Método 1





Método 2


Observa en la imagen que este problema se resuelve en una sola celda D24, y que la fórmula la puedes ver en la imagen. Es la siguiente:

=+(C23-D23)*1,1^0,75

Y eso es porque lo hemos querido expresar de forma ordenada y clara. Pero bastaría haber puesto en una celda la expresión:

=+110000*1,1^0,75



Pregunta

Yo lo he planteado diciendo que en to, en la modalidad A tenemos 100.000, y en la B tenemos -10.000. Por lo que en to la modalidad B tiene una desventaja de 110.000. Por lo que a los nueve meses, para hacerlos equivalentes, a ese interés, debe recibir: 118150.9449 €.

Modalidad B
diferencia entre caso A y B en to: 110000
meses= 9
n= 9/12
i= 10%
M=Cn=Co*(1+i)^n= 118150.9449

El resultado es el mismo, pero creo que mi razonamiento es más simpler y no sé si es correcto.

Respuesta

Tu razonamiento es perfecto, lógicamente en el fondo, coincide con el planteamiento que os he mostrado usando ecuaciones [haciendo la equivalencia financiera].

Es preferible que os vayáis acostumbrando a estos planteamientos con Equivalencias Financieras porque en el próximo tema (Rentas) y siguientes será el procedimiento que utilizaremos de forma intensiva. Cuando los problemas se vayan complicando (más cuantías que intervienen en la operación) será más complicado sacar los problemas a base de razonamientos específico para cada caso, y se necesitará un método. Ese método
es el de las EQUIVALENCIAS FINANCIERAS.

Para este caso tu planteamiento es super-correcto, ya que lo que haces es 'netear' las dos cuantías que vencen en t=0, y como son de signo contrario, realmente se suman:

100.000 - (-10.000) = 110.000

Ese importe es Co.

Por otro lado, sabes quien es n e i, por lo que calcular Cn es ya un tema sencillo aplicando la ley de capitalización compuesta.



Haciendo la equivalencia financiera en t=0 obteníamos:

100000=-10000+M*1,1^(-9/12)     [Ec. 1]

Lo que hacíamos es igualar la prestación y la contraprestación en t=0.

Pero esa Equivalencia Financiera (EF) la podemos realizar igualando prestación y contraprestación en cualquier instante del tiempo que elijamos. El instante elegido depende de la comodidad para los cálculos.

Si ahora elegimos el instante t=9 meses la equivalencia financiera se puede expresar como:

100000*1,1^(9/12)=-10000*1,1^(9/12)+M     [Ec. 2]

lo que es igual a:

110000*1,1^(9/12)=M

Puedes comprobar que tanto obtengas M haciendo la EF en un punto o en otro se obtiene el mismo resultado.

Comprueba que la ecuación 1 y la ecuación 2 en realidad son la misma ecuación. Lo que hemos hecho es tomar la [Ec. 1] y multiplicarla término a término por 1,1^(9/12), y así obtenemos la [Ec. 2].

10 comentarios:

  1. Mi pregunta es:
    El 10% de interés sólo afecta a la Modalidad B? porque si en la A ya nos han dado el dinero, los 100.000 quedarían inamovibles, no?

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  2. Hay algo que no entiendo:
    Sí los 100.000€ queda inmóviles como dice Ekaterina, no entiendo el planteamiento puesto que si pago 10.000€ el M a los 9 meses tiene que ser 110.000€

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  3. Hola Ekaterina y Manuel.
    He añadido al Post de este ejercicio algunas consideraciones teóricas y su posible resolución con Excel.
    Espero que os ayude.
    Un saludo.
    Adolfo Aparicio

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  4. Yo creo que por un lado hay que calcular cuánto gana ingresando los 100.000 € al 10 % durante 9 meses.
    por otro lado, calcular cuanto ganaría con los 10.000 € que entrega en 9 meses al 9 %. Esta cantidad se ha de sumar a la que obtendría capitalizando los 100.000 €, para obtener el total de la equivalencia financiera.

    Es que creo que todavía nadie había tenido en cuenta el detalle de que los 10.000 € también darían un dinero si no hubiera que entregarlos...

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  5. Hola Miguel Osorio.
    Tu razonamiento es muy bueno. Lo que estas diciendo en palabras (con sentido financiero) es que:

    M=100000(1+0,1)^(9/12)+10000(1+0,1)^(9/12)

    Un saludo.
    Adolfo Aparicio

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  6. Tengo problemas para despejar 100000=-10000+M(1+0,1)^-(9/12) la m de este caso, si me pudieseis ayudar os lo agradeceria , gracias

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  7. Yo creo que, desde el punto de vista de la cuenta de la vieja, su objetivo, para ser financieramente equivalente, es ingresar 110.000 euros, esto es, salvar los 10.000 que ha pagado, e ingresar otros 100.000 para quedarse con 100.000.

    En el primero gasta 0 e ingresa 100.000, por tanto su saldo es +100.000

    En el segundo, si marcamos M como 100.000, el habrá gastado -10.000 para ingresar 100.000, esto es su saldo es +90.000, el sólo gana 90.000

    Cuando sepa como ponerlo en fórmula os lo digo...jajaja

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  8. No llego a entender muy bien por que al tener en cuenta la equivalencia financiera en t=9, la fórmula es 100000(1+0,1)^(9/12)=-10000(1+0,1)^(9/12)+M. Cuando yo solo he planteado el problema puse lo mismo, pero cambiando la situación de M: 100000(1+0,1)^(9/12)=(-10000+m)(1+0,1)^(9/12). Cuál es mi fallo?

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    Respuestas
    1. Hola dude.

      Puedes hacer la equivalencia financiera en el instante del tiempo que prefieras. Si realizas primero la equivalencia financiera en t=0 obtendrás una ecuación que iguala prestación y contraprestación en dicho instante. Si luego haces la equivalencia en t=9 meses, obtendrás otra ecuación que iguala prestación y contraprestación en dicho instante. Se puede comprobar que ambas ecuaciones son en realidad la misma. La comprobación consiste en tomar la ecuación que está valorada en t=0 y capitalizar todos sus términos durante 9 meses. Con ello habrás obtenido la ecuación que esta valorada en t=9 meses.
      Esto supone que si entiendes la equivalencia financiera en t=0, para obtener la equivalencia en t=9, lo único que debes hacer es capitalizar 9 meses todos sus términos.

      Por otro lado, si analizas la ecuación que mencionas:
      100000(1+0,1)^(9/12)=-10000(1+0,1)^(9/12)+M
      podrás observar que todos los términos, tanto de la prestación como de la contraprestación, quedan valorados en t=9. En cuanto a los signos, los positivos suponen flujos de caja a mi favor, y los negativos suponen flujos de caja en mi contra.

      El planteamiento que propones es erróneo ya que estas sumando (o restanto) M y los 10.000 euros, cosa que no se puede hacer ya que son cuantías que vencen en distinto momento del tiempo.

      Un saludo.

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  9. muchas gracias por aclarar mis dudas señor Adolfo. Ahora le haré una pregunta para relajarme de tantos números. Sabe de que película viene el mote de "dude"? si no lo sabe, se lo facilitare con una imagen pero estoy mas que seguro que sabrá la respuesta. Un saludo y otra vez, muchísimas gracias :)

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