miércoles, 12 de enero de 2011

Tanto medio

Una operación de capitalización a interés compuesto variable se pacta durante 10 años. El primer año se aplica el 2%, el segundo el 3% y así sucesivamente, con incrementos de un punto hasta llegar al decimo año, en el que se aplica un 11% anual. Determinar el tanto medio equivalente.




  • Explicación con voz.
  • Ver la explicación teórica: Tanto medio
  • Ver el problema 1.9 del Libro de Cálculo Financiero.


Método 1

Utilizando la función PRODUCTO podemos multiplicar las celdas de un rango. En este caso el rango son los factores.


El producto de esos 10 factores nos daría el capital final obtenido durante esos 10 años supuesto que hubiéramos invertido 1 euro. Ese mismo montante es el que se hubiera obtenido trabajando durante 10 años con un tipo constante que llamamos Tipo Medio. Y de esa igualdad podemos despejar el tipo medio.

No olvidar luego elevar a (1/n) y finalmente restar 1.


El factor es uno más el tipo de interés (1+i).

Una operación a n años a tipos variables i(1), i(2), i(3),....,i(n) da lugar al siguiente montante:

Cn=Co*(1+i(1))*(1+i(2))*(1+i(3))*...*(1+i(n))

Esa misma operación a un tipo medio iM da lugar al siguiente montante:

Cn=Co(1+iM)^n

Igualando montnates Cn=Cn, vemos que Co se va con Co, y nos queda:

(1+iM)^n = (1+i(1))*(1+i(2))*(1+i(3))*...*(1+i(n))

Expresión que se corresponde con una media geométrica de montantes.

si despejas iM obtienes lo siguiente:

iM =[ (1+i(1))*(1+i(2))*(1+i(3))*...*(1+i(n)) ] ^ (1/n) - 1

El tanto medio se puede calcular como la raiz enésima del producto de todos los factores a tipo variable menos 1.

Método 2

En Excel existe una función que calcula la media geométrica. Está dentro de la categoría de funciones estadísticas y se llama =MEDIA.GEOM.
=MEDIA.GEOM(número1;número2; ...)
La media geométrica se utiliza para calcular medias de magnitudes que se acumulan por producto, como por ejemplo los índices, o en nuestro caso, los factores financieros.

El resultado de aplicar la Media Geométrica nos dará el Factor Medio. Para calcular el Tanto Medio debemos restar 1 al Factor Medio.


Método 3

La función =VF.PLAN permite calcular el montante al que se llega partiendo de un capital inicial y aplicando una serie de tasas variables en el tiempo.

=VF.PLAN(capital;plan_serie_de_tasas)
No olvidar luego elevar a (1/n) y finalmente restar 1.

La fórmula es:

=+VF.PLAN(1;C14:C23)^(1/10)-1

Como ves Co se va con Co, por lo que puedes trabajar con 1 euro.

10 comentarios:

  1. ¿Qué es el tanto medio equivalente? Lo he buscado ya en varios libros y sólo encuentro tanto anual/semestral/mensual equivalente.

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  2. Hola Ekaterina.
    Mira el libro de Cálculo Financiero y verás que algún problema resuelto trata este tema (ejercicio 1.9).
    La idea es la siguiente: En capitalización compuesta puedes trabajar con diferentes tantos durante diferentes periodos, y tu lo que buscas es un tanto medio que trabajando durante todo ese tiempo produzca el mismo resultado, esto es, que produzca el mismo montante final.
    En el problema nos dan varios tantos que actúan durante un año y van desde el 2% al 11%. Lo que buscar es un tanto CONSTANTE que actúe durante esos 10 años y que de lugar al mismo montante. A ese tanto se le llama tanto medio equivalente.
    Se puede calcular de varias formas. Una de ellas es observando que el factor del tanto medio (1+iM) es la media geométrica de los factores de los tantos que lo componen. Te recuerdo que en fianzas llamamos factor a uno más el tanto: (1+i).
    Un saludo.
    Adolfo Aparicio

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  3. Es decir, hallar un tipo de interés constante con el que un capital inicial cualquiera se convierta en el mismo capital final aplicando los tipos progresivos, o el tipo constante. Se puede resolver (creo que está bien, la verdad es que estoy resolviendo y todavía no he visto las respuestas para comparar en casi ningún ejercicio) como en el ejercicio 4, despejando de la fórmula de capitalización compuesta el interés medio con el Cf y el Ci ---> (Cf/Ci)-1

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  4. Hola Miguel.
    Te he dejado en el Post un desarrollo teórico y tres métodos de resolución.
    Mira el problema 1.9 del Libro de Cálculo Financiero.
    Conviene que mires las soluciones del tipo test para ir comparando.

    Un saludo.
    Adolfo Aparicio

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  5. Tengo una duda respecto al método de resolución:
    Usted recomienda que después de hallar el montante final elevemos a 1/n y restemos 1. Yo hago lo siguiente y no sé si quiere que lo hagamos así

    El montante final lo igualo a (1+i)^10 y con la función buscar objetivo el programa halla la i

    Gracias por la ayuda

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  6. La verdad es que si, lo mejor es ir comparando con las respuestas para ver si están bien hechos... aunque alguno estaba bien, la mayoría no... me pasé el "detalle" de que la fórmula de cap. compuesta es exponencial... ahora tengo el problema de cómo resolverlo en base a este detalle con excel...

    P.D. Este problema al final lo he resuelto con MEDIA.GEOM, hasta que me apañe a manejar solver y buscar objetivo, que se me están atragantando un poco los 2... vale asi? si consigo manejarlos antes del jueves, lo resuelvo con este método, de todas formas...

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  7. ¡Buenas!¿Hace falta hacerlo por los 4 métodos?
    Gracias

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  8. Hola.
    Estefanía, no es obligatorio usar más de un método pero es buen consejo hacerlo para que aprendáis a manejarlos y para comprobar que todo cuadra.
    Manuel, para despejar algo que está elevado a 10, lo que se hace es elevar miembro a miembro por (1/10).
    Ejemplo:
    A=(1+i)^10
    para despejar i, elevamos en ambas partes de la igualdad a (1/10), y quda
    A^(1/10)=((1+i)^10)^(1/10)
    y como 10*(1/10)=1
    nos queda que
    A^(1/10)=(1+i)
    de donde
    i=A^(1/10)-1

    Miguel, estoy convencido de que cuando le pilles el truco a Buscar Objetivo y a Solver lo usaras para todo, como hace Manual.

    Un saludo.
    Adolfo Aparicio

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  9. Hola Adolfo
    Para hacerlo a mano, ¿cual sería el método más apropiado?
    Gracias

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  10. Hola David.
    Para hacerlo a mano no existen atajos. Lamentablemente, tenemos que aplicar la fórmula:

    iM =[ (1+i(1))*(1+i(2))*(1+i(3))*...*(1+i(n)) ] ^ (1/n) - 1

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