sábado, 10 de septiembre de 2011

Rentas geométricas: deducción de las fórmulas

¿Qué es una renta geométrica?

Una renta de términos variables en progresión geométrica es aquella cuyos términos se obtienen multiplicando por una cantidad constante el término anterior.

Gráficamente

Vamos a utilizar la siguiente notación:

  • C es la primera cuantía de la renta. Es el importe del primer término de la renta.
  • q es la razón de la progresión geométrica. Es el número por el que se ha de multiplicar una cuantía para obtener la siguiente
  • i es el tipo de interés constante al que valoramos la renta. Si el periodo de la renta es el año, el i será un efectivo anual, pero si la periodicidad de la renta es diferente a la anual, el tanto utilizado siempre ha de ser el tanto EFECTIVO relativo a ese periodo
Hablemos de la RAZÓN q.
  • Si q=1,05 supone que los términos de la renta se incrementarán un 5% acumulado
  • Si q=1,1 supones que los términos de la renta se incrementarán un 10% acumulado
  • Si q=1,12 supones que los términos de la renta se incrementarán un 12% acumulado
  • Si q=0,97 supones que los términos de la renta se reducen un 3% acumulado

Una renta geométrica es aquella en la que los términos se incrementan (o reducen) en un cierto porcentaje de forma acumulada. Al hablar de variación acumulada, o incremento ACUMULADO, estamos indicando que la renta es geométrica.

Ejemplo 1

Estudiar una renta variable en progresión geométrica de términos anuales. El primero de ellos es de 100.000 €, y experimentan incrementos acumulados del 10% anual. Se valora al 7% anual.

Gráficamente


Para calcular cada uno de los términos hemos multiplicado el anterior por la razón que es q=1,1


Para calcular el valor actual de la renta podemos desconstar cuantía a cuantía hasta llegar al origen de la renta en t=0.



Vo= 601.552,99 €

Para calcular el valor final podemos capitalizar cuantía a cuantía hasta llegar el final de la renta en t=6, o bien, podemos capitalizar 6 años el valor actual.

V6=Vo(1+0,07)6= 902.768,83 €

Valor actual

Vamos a deducir una fórmula para evitar tener que calcular el valor actual descontando término a término.

Comencemos haciendo el desarrollo teórico del valor actual precisamente descontando término a término.


Sacamos factor común C, y expresemos los denominadores como potencias con exponente negativo.


Lo que tenemos dentro del corchete es la suma de los n primeros términos de una progresión geométrica.


La fórmula que nos da la suma de los n primeros términos de una progresión geométrica la podemos encontrar en este apartado: Sucesiones y series geométricas.

La fórmula de la suma de los n primeros términos de una progresión geométrica es:

donde:
  • a = Primer término
  • r = Razón de la suma

En nuestro caso, aplicado al sumatoria que se encuentra dentro del corchete [ ] obtenemos:
  • a = Primer término 
  • r = Razón de la suma

Aplicando la fórmula de la suma de los n primeros términos de una progresión geométrica, obtenemos lo siguiente.


Hacemos la resta del denominador y finalmente simplificamos (1+i) que se encuentra arriba y abajo.

Así obtenemos la fórmula del caso general.


Esta fórmula es válida para casi todos los casos, por eso se dice que es el CASO GENERAL. Es válida para cualquier valor que cumpla que q es distinto de (1+i), ya que en ese caso el denominador se anula y para resolverlo tendríamos que utilizar otro método que conocemos como caso particular.

El CASO PARTICULAR se da cuando justamente q=(1+i). Vamos a deducir la fórmula para este caso.

Comenzamos descontando cuantía a cuantía tal y como hicimos anteriormente.


Ahora hacemos que q tome su valor, que para este caso es: q=(1+i)


Simplificamos un poco los (1+i) de numerador y denominador.


Así llegamos al fórmula final del CASO PARTICULAR:


Vamos a indicar en una misma expresión el caso general y el caso particular.



Valor final

El valor final se obtienen capitalizando n periodos el valor actual. Se conservarán los dos casos descritos, el caso general y el caso particular.



Ejemplo 2

Calcular el valor actual y final del ejemplo 1 utilizando las fórmulas que hemos deducido.

Los datos son:

  • C=100.000 €
  • q=1,1
  • n=6
  • i=7%

Estamos en el caso general ya que q=1,1 y (1+i)=1+0,07=1,07, por tanto q es distinto de (1+i).

Aplicamos las fórmulas del caso general.

Para el valor actual tenemos lo siguiente.




Vo= 601.552,99 €

Para el valor final tenemos lo siguiente.


V6= 902.768,83 €

En Excel

Si disponemos de Excel lo mejor es hacer una tabla con las cuantías de la renta y aplicar la función VNA que calcula el VAN (Valor Actual Neto).


La celda F4 contiene la siguiente fórmula.

=+VNA(7%;C6:C11)

El valor final se obtiene capitalizando el valor actual durante n periodos.

La celda F5 contiene la siguiente fórmula:

=+F4*1,07^6

Vídeo

Puede ver el siguiente vídeo que muestra cómo se deducen a nivel teórico las fórmulas de una renta variable en progresión geométrica.

Audio


Audio

8 comentarios:

  1. Hola Adolfo,
    Yo tengo una pregunta ¿Que sucede si 1+i es menor que la razón? El resultado sería negativo, y no tendría sentido ¿Qué pasa en ese caso?
    Muchas gracias

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    1. Hola Alejandro.
      En una renta geométrica donde n no tiende a infinito se puede calcular el Valor Actual para cualquiera de los tres casos:
      1. q>1+i
      2. q=1+i
      3. q<1+i
      Únicamente se ha de tener en cuenta que cuando justamente q=1+i se aplica diferente fórmula que en los otros dos casos. Este es el que hemos denominado "Caso Particular". Pero si q>1+i no existe ningún problema. Prueba a ponerte un ejemplo, y verás que se obtiene un Valor Actual correcto, que no es negativo ni le pasa nada raro.

      Por el contrario, en el caso de una geométrica perpétua, cuando n tiende a infinito, el Valor Actual únicamente es convergente cuando q<1+i. Convergente quiere decir que el valor actual se puede calcular y el resultado es un número finito, esto es, que el resultado no da infinito.
      Un saludo.

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  2. Hola buenos días,
    Viendo que pareces comprender el origen matemático de las rentas geométricas, me preguntaba si sabes si es posible hallar la TIR (despejar la i partiendo del resto de datos, vamos) de una renta geométrica, con Excel o de alguna otra manera.

    Gracias.

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    1. Hola.
      Con Excel puedes "despejar" usando Buscar objetivo o también usando Solver.
      Un saludo.

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  3. Por favor ¿como se halla el valor de una renta variable en progresión geométrica cuando el crecimiento no es acumulativo?

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    1. Hola. En las rentas geométricas el crecimiento siempre es acumulativo. Es posible que te refieras a rentas aritméticas. Mira en este blog ya que existe un post que habla de ese tema.
      Un saludo.

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  4. Cómo diferenciar rentas aritméticas y geométricas cuando nos da la variación en porcentaje ?

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  5. Hola Laura.
    La clave está en la palabra "acumulado". Si en el enunciado del ejercicio dicen que hay un incremento acumulado del 12%, entonces ya sabes que se trata de una renta geométrica de razón 1.12. Si no aparece esta palabra se trata de una renta aritmética.
    Esta es la norma general, luego cada profesor es un mundo. Pregunta al tuyo para asegurarte.
    Un cordial saludo.

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