viernes, 29 de abril de 2016

¿Qué es una prorrata?

Una prorrata es la parte que corresponde a un miembro de un grupo o colectivo según la proporción en la que éste participe de unos gastos o ingresos.

El cálculo de la prorrata se denomina prorrateo.

Ejemplo

Una comunidad de propietarios de un edificio está compuesta por 10 vecinos, uno por cada planta. La planta inferior del edificio es el bajo (B) y sobre el se encuentran los pisos 1, 2, ...,9. El piso más alto es el 9. Los vecinos pagan 100 € al mes para hacer frente a los gastos comunes de la finca. Todos ellos pagan lo mismo. Los gastos generales mensuales del edificio son de 1.000 € y pueden descomponer de la siguiente forma.

  • Gastos de mantenimiento del ascensor: 200 €
  • Resto de gastos mensuales del edificio: 800 €
  • TOTAL de gastos de la comunidad:   1.000 €
El vecino del bajo (B) ha consultado la ley de propiedad horizontal y ha descubierto que al no hacer uso del ascensor, él no debería pagar los gastos que corresponden a este servicio. El resto de vecinos admite esta situación y acuerdan que el próximo mes el vecino del bajo no pague los gastos de ascensor, lo cual supone que se han de prorratear los gastos de ascensor entre los 9 vecinos restantes, por lo desde ese momento ya no pagaran todos los vecinos el mismo importe.

¿Cuánto pagara ahora cada vecino?


El vecino del bajo (B) ahora pagará 80 €/mes. Esta cifra se obtiene dividiendo los 800 € de gastos generales (sin incluir los gastos de ascensor) entre los 10 vecinos que han de soportarlos.

Cada uno de los otros 9 vecinos, desde el piso 1 al piso 9, han de pagar más de 100 € ya que ahora han de asumir la parte proporcional de los gastos que no paga el vecino del bajo. Para calcular este importe podemos proceder siguiendo dos métodos.

Método 1

Los restantes vecinos pagarán: 100 + (20/9)
Esto es, pagarán los 100 € que venían pagando y por otra parte han de asumir los 20 € que ahora no paga el vecino del bajo, divididos entre 9 vecinos que han de soportarlos.

Método 2

Los restantes vecinos pagarán: 80 + (200/9)
Esto es, pagarán 80 € para asumir los gastos generales (excluido el ascensor), más los 200 € del ascensor entre 9 vecinos que han de soportarlos.
Todos los vecinos pagan 80 €, incluido el vecino del bajo, para asumir los gastos generales (sin ascensor). El vecino del bajo, no paga nada más, únicamente los 80 €.
Los 9 vecinos restantes han de asumir los 200 € del ascensor, por lo que a cada uno de ellos hemos de imputar 200/9 euros.

Método 3

Los restantes vecinos pagarán: 80+20*100/90
Los 80 primeros corresponden a los gastos generales y los pagan los diez vecinos. Como el vecino del bajo no paga 20 euros del ascensor esta cifra debe ser asumida por los nueve vecinos restantes. Esto hace que tengamos que multiplicar por 100/90 que es un número mayor que uno y que lo que hace es incrementar el porcentaje que paga cada uno de los restantes vecinos por el ascensor. En lugar de pagar el vecino del piso 9, los 20 € del ascensor que pagaba inicialmente ahora tendrá que pagar por este concepto 20*100/90 = 20*1,11111 = 22,22222 €.

¿De dónde sale el cociente 100/90 por el que hemos multiplicado para aumentar la participación del resto de los vecinos en el ascensor?

Lo que estamos haciendo es un reparto proporcional o prorrata, que se resuelve modificando el porcentaje en el que los vecinos restantes participan  en la asunción de los gastos de ascensor. Si antes 10 vecinos pagaban 20 euros cada uno en concepto de ascensor, lo que hace un total de 200 euros, ahora tendrán que asumir este coste entre 9 vecinos únicamente.

El vecino del 1º antes asumía 20 euros de gastos de ascensor. Esos 20 euros se calculaban dividiendo 200 € de gastos totales de ascensor entre 10 vecinos, que eran los que inicialmente participaban asumiendo ese gasto. Ahora, son solo 9 vecinos los que han de asumir ese gasto, por lo que tendremos que dividir los 200 € entre 9 vecinos.

200/10 → 200/9

Esta transformación supone que a la cifra inicial la tendremos que multiplicar por un número mayor que 1 para llegar a la cifra final. ¿qué número es ese?. Respuesta: 10/9, o lo que es igual 100/90.

Justificación

La justificación puede verse en la siguiente regla de tres inversa.

  • Cuando eramos el 100% de los vecinos asumíamos cada uno 20 €.
  • Ahora que somo el 90% de los vecinos tenemos de asumir cada uno x €.

Regla de tres inversa:

100 → 20 €
  90 → x €

Para resolver una regla de tres inversa despejamos x de la siguiente forma:

x=20*100/90

¿Por qué es una regla de tres inversa?

La respuesta es que siendo el 100% de los vecinos cada uno asume 20 € de ascensor. Y si son menos vecinos (en este caso solo 90% del total) tendrán que asumir cada uno de ellos un importe mayor para llegar a cubrir el total de gastos de ascensor.

Método 4

El método 4 es otra forma de considerar el método 3.

Este enfoque consiste en ver que se cumple que:

80 + 20*100/90 = 80 + 20/0,9

Lo que hacemos es dividir 20 entre 0,9 que es el porcentaje (en tanto por uno) de los vecinos que tienen que asumir la carga total del ascensor.


Por tanto, el vecino del bajo pagará 80 € y los restantes vecinos 102,22 €. 

Comprobación: =102,222222222222*9+80 = 1.000 

Puede ir a la hoja de cálculo: prorrata



Otro ejemplo



Audio

Letra y disposiciones

Se adquiere una Letra del tesoro por un efectivo de E euros y vencimiento a un año. Se mantiene hasta su amortización y con los 1.000 € de nominal obtenidos abrimos una cuenta corriente al 4,80% efectivo anual. Durante dos años al final de cada mes detraemos de la cuenta C € al mes, con ello la cuenta queda con saldo cero transcurridos dos años desde su apertura. Calcular la TIR de la Letra sabiendo que la rentabilidad del inversor durante estos 3 años ha sido del 6,50% efectivo anual.






Podemos comprobar los resultados calculando la TIR de la operación conjunta y observando que se obtiene un 6,5% efectivo anual que es el dato que nos proporciona el enunciado para la rentabilidad del inversor.

viernes, 22 de abril de 2016

Cuantías alternas

Calcular el valor final de una renta de 5 años valorada al 10,0% efectivo anual. Existen dos tipos de pagos, el primero de importe 3.000 €, al inicio de cada semestre, y otro de 3.500 € tres meses después de cada uno de los anteriores.





miércoles, 20 de abril de 2016

Tres años sin operar

Se realizan 4 imposiciones trimestrales de C € en una cuenta de alta remuneración, al 9% efectivo anual. Transcurridos 3 años desde la última aportación comienzan a detraerse de la cuenta 500 euros mensuales durante 5 años. Calcular C sabiendo que con la últma disposición la cuenta quedó con saldo cero.



jueves, 14 de abril de 2016

Saldo de una operación de préstamo recíproco

Supongamos una operación de préstamo recíproco donde el prestamista comienza entregando la primera cantidad y por tanto inicialmente el saldo es a su favor. Pero en algún momento el prestatario entrega cuantías que hacen que el saldo cambie de signo. No por ello dejaremos de llamar prestamista al que entregó la primera cantidad.

Tipo de interés pactado: 10% anual.

PRESTACIÓN

(1.000; 0)
(1.900;1)
(3.000;4)


CONTRAPRESTACIÓN

(2.800;2)
(2.550;3)
(880;5)

Calcular la Reserva Matemática por la izquierda (R-) y la Reserva Matemática por la derecha (R+) en todos los instantes de la operación.



Representar el saldo de la operación mediante el denominado Esquema dinámico, que muestra cómo evoluciona el saldo.


Reserva matemática


Audio

miércoles, 13 de abril de 2016

Último término de una renta geométrica fraccionada


Se acuerda el pago de una renta variable en progresión geométrica fraccionada con los siguientes datos. Duración 10 años, términos trimestrales prepagables constantes dentro de cada semestre que se incrementan semestralmente un 3% acumulado. El valor final es de 11.500.000 €. Valorando al 12,0% nominal anual calcular el importe del último término trimestral.








Préstamo francés con las dos primeras anualidades diferentes

Un préstamo de 100.000 € de principal se contrata a 12 años con términos amortizatívos anuales siendo los dos primeros de 10.000 € y 15.000 € respectivamente y el resto de importe constante a. Calcular a sabiendo que se pactó al 5% anual.


Este ejercicio es similar al siguiente.