lunes, 11 de marzo de 2019

Método binomial de valoración de opciones

Puede descargar el archivo de Excel aproximacionArbolBinomial.xlsm

Las opciones son unos activos derivados que se pueden valorar usando principalmente dos modelos.
Historicamente surgió primero la fórmula de Black-Scholes (1973) y posteriormente se desarrolló el método de árboles binomiales en un artículo de Cox-Ross-Rubinstein de 1979. Conviene explicar primero el método binomial para comprender de forma más sencilla los procesos necesarios para valorar opciones. El modelo de Black-Scholes es un modelo analítico desarrollado en tiempo contínuo. El modelo binomial es el más conocido dentro de los que valoran la prima de una opción utilizando algoritmos de cálculo numérico.

Vamos a valorar opciones CALL europeas por el método de árboles binomiales. Recordemos que una opcione europera es aquella que se ejerce únicamente a fecha de vencimiento, frente a las opciones americanas que son aquellas que se pueden ejercer en cualquier momento hasta la fecha de vencimiento.

La idea consiste en partir de un precio inicial del activo subyacente S y suponer que en el periodo siguiente puede alcanzar dos valores posibles, o bien ha subido un cierto porcentaje o bien ha bajado un cierto porcentaje. Esto supone construir un arbol binomial, ya que se trata de dos ramas posibles, y posteriormente estas ramas a su vez volverán a poder subir o bajar y así sucesivamente. De esta forma podríamos llegar a tener un arbol de n pasos.

Aproximación al valor de una opción (Hoja1)

Antes de lanzarnos a ver el método de valoración por árboles binomiales vamos a plantear la idea que utilizaremos para la valoración de una opción.

Supongamos una opción CALL europea sobre un activo subyacente, por ejemplo una acción, cuyo precio de mercado hoy, precio Spot, es de 100 €, con fecha de vencimiento a un año, y precio de ejercicio (Strike) de 100 €. La rentabilidad libre de riesgo supondremos que es del 12% anual.

Supongamos una serie de precios que puede llegar a tomar el activo subyacente a fecha de vencimiento. En la tabla que tenemos en la hoja de cálculo hemos supuesto precios que van entre 70 € y 130 €, de 10 en 10 euros, en total son siete posibles precios. A cada uno de estos precios hemos asociado unas probabilidades de ocurrencia. Así los precios extremos de 70 € y 130 € son menos probables y les hemos asignado una probabilidad del 2%, y los precios centrales son más probables. Al precio de 90 € y al de 110 € les hemos asignado una probabilidad del 20% a cada uno. El precio central de 100 € es el de mayor probabilidad, 40%. Estas probabilidades de momento nos las estamos inventando, es una supuesto que luego iremos matizando.

En la siguiente columna de la tabla calculamos el payoff de la opción. No estamos considerando el beneficio obtenido por la opción ya que no estamos considerando la prima que se pagó. Simplemente consideramos el payoff que coincide con el valor intrínseco de la opción a fecha de vencimento, ya que a esa fecha ya no existe valor temporal. Para las opciones CALL es el máximo entre cero y la diferencia entre el precio del subyacente y el precio de ejercicio.

Payoff para un CALL: =MAX(0;S-E)
Payoff para un PUT: =MAX(0;E-S)



Para calcular la prima del CALL o valor estiamdo de la opción recurrimos al concepto tradicional que se usa en la valoración de inversiones por árboles de decisión. Lo que haremos es multiplicar el valor esperado de la opción en cada rama (payoff) por la probabilidad de que esa rama suceda. Todos estos productos se suman y ya tendríamos el precio estiamdo de la opción en la fecha t=T y ahora tendremos que descontar esos T periodos a la rentabilidad libre de riesgo para obtener el valor de la opción a valor actual, en t=0.

La prima del CALL se llama C y es el valor actual de la esperanza matemática del valor intrínseco a vencimento que se calcula con la siguiente expresión.

C = [ Sumatorio para todas las ramas ( payoff de esa rama * probabilidad de esa rama ) ] / (1+r)^T

C = [ 0*0,02 + 0*0,08 + 0*0,2 + 0*0,4 + 10*0,2 + 20*0.08 + 30*0,02 ] / (1+0,12) = 3,75

Esto está recogido en la celda D11 de color naranja.

=SUMAPRODUCTO(D15:D21;E15:E21)/(1+$D$8)^$D$9


Esta es una aproximación a la valoración de opciones que no es nada precisa y que simplemente pretende establecer la lógica de valoraicón que utilizan todos los métodos de valoración sean en tiempo discreto como el que veremos de árboles binomiales o sean en tiempo contínuo como el de Black-Scholes.

Los métodos que analizaremos son más complejos pero sus principios básicos son los que hemos visto en este ejemplo, el valor actual del valor esperado o esperanza matemática de los flujos de caja futuros que se obtendrán con la opción. La dificultad de los métodos que estudiaremos radica en los métodos utilizados para estimar los flujos de caja futuros y sus probabilidades.

Hipótesis del modelo binomial


Se asumen las siguientes hipótesis.

  • La eficiencia y profundidad de los mercados
  • La ausencia de costes de transacción
  • Es posible comprar y vender en descubierto sin límite
  • Los activos son perfectamente divisibles
  • El tipo de interés es el mismo para préstamo y endeudamiento
  • Todas las transacciones se pueden realizar de forma simultánea
  • El precio del subyacente evoluciona según un proceso binominal multiplicativo
  • El subyacente no reparte dividendos hasta la fecha de vencimiento

Arbol binomial de un paso (Hoja2)

CALL europea

En el momento presente el precio del subyacente es S y transcurrido un perido puede subir un cierto porcentaje o bajar otro cierto porcentaje. Si sube el nuevo precio del subyacente será Su siendo u un valor mayor que uno, y que se puede identificar como uno más el porcentaje de subida. Si baja el nuevo precio del subyacente será Sd siendo d un valor menor que uno.


Por ejemplo, si el porcentaje de subida es del 25% el valor u será 1,25. Si el porcentaje de bajada es del 20% el valor d será 0,8. Se cumple que d=1/u. Si el precio inicial del activo subyacente es S=100 los precios transcurrido un perido del activo subyacente podrán ser Su=100*1,25=125 € si se sigue la rama alcista, o bien, Sd=100*0,8=80 € si se ha seguido la rama bajista.





De esta forma la subida y la bajada suponen el mismo efecto ya que si primero subimos y luego bajamos se llega al mismo valor que si primero bajamos y luego subimos. Recordemos que los porcentajes son magnitudes que se comportan de forma multiplicativa y no aditiva. Si partimos de 100 € y subimos un 25% tendremos que luego bajar un 20% para llegar a esos mimso 100 €. Y viceversa, si partimos de 100 € y primero bajamos un 20%, luego tendremos que subir un 25% si queremos llegar a esos mismos 100 € iniciales.




Ahora vamos a calcular el payoff del CALL a fecha de vencimiento. Se trata de calcular el valor intrínseco de la opción a fecha de vencimiento que en el caso de una opción CALL viende dado por la expresión siguiente.

=MAX(0;S-E)



Las celda amarillas son las que nos permie calcular el payoff de cada rama. En la rama alcista si el precio de activo subyacente a fecha de vencimiento es S=125 y el precio del ejercicio es E=100, ejerceremos la opción y obtendremos una ganancia (sin contar la prima que se pagó) de 25 €. Por el contrario, si estamos en la rama bajista el precio del activo subyacente ha terminando siendo de S=80 € y al ser inferior al precio de ejercicio E=100 no nos interesa ejercer la opción, y por lo tanto el payoff será cero.

Ahora tenemos que calcular el precio de la opción en el nodo previo, y por lo tanto tiraremos hacia atrás. Para calcular el valor teórico de la prima en t=0 necesitamos conocer las probabilidades de cada una de las ramas. Denominamos como p la porbabilidad de subida y como 1-p la probabilidad de bajada.

La probabilidad p de que acontezca la rama superior, la rama alcista, viene dada por la siguiente expresión.


Esta fórmula se obtiene aplicado la hipótesis de no arbitraje a las ramas del modelo binomial.


En nuestro ejemplo numérico podemos calcular la probabilidad de alza p con los siguientes valores.



p = (1,07-0,8) / (1,25-0,8) = 0,6

1-p = 1-0,6 = 0,4

Por tanto, la probabilidad de subida en la cotizaicón es del 60% y la probabilidad de bajada es del 40%.

Para calcular el precio teórico de la opción o prima estimada por el modelo binominal de un periodo tendremos que calcular el valor actual de la esperanza matemática del payoff de la opción multiplicado por sus respectivas probabilidades.

C = [ Cu*p + Cd*(1-p) ] / (1+r)

C = [ 25*0,6 + 0*0,4 ] / (1+0,07) = 14,02 €


Arbol binomial de dos pasos (Hoja3)

CALL europea

Vamos a ampliar el arbol binomial suponiendo que ahora trás el primer nodo viene un segundo nodo donde también se pueden producir movimentos al alza y a la baja por cada uno de los anteriores. Continuamos suponiendo que el alza supone incrementos del 25%, por lo que u=1,25 y las bajadas suponen reducciones del 20%, por lo que d=0,80.


En el nodo para t=2 tenemos el precio más alto que se consigue multiplicando el precio del activo subyacente S por el factor de incremento u dos veces. Resultando ser S*u*u=Su2.

El precio más bajo resulta ser S*d*d=Sd2, ya que a una bajada se añade otro nueva bajada.

Existe un precio intermedio al que se puede llegar por dos caminos:

  • partimos de S, subimos hasta Su y luego bajamos hasta Sud
  • partimos de S, bajamos hasta Sd y luego subimos hasta Sdu


Puesto que u y d son valores inversos, ya que u=1/d se obtiene que ambos caminos son idénticos ya que el producto ud=1. De esta forma, ambos caminos conducen a que el valor alcanzado es igual a S.

Numéricamente, partimos de 100 y por ambos caminos llegamos a 100, así:

  • Partimos de 100, luego subimos hasta 100*1,25 y luego bajamos hasta 100*1,25*0,80 que es nuevamente igual a 100
  • Partimos de 100, luego bajamos hasta 100*0,80 y luego subimos hasta 100*0,80*1,25 que es nuevamente igual a 100





Ya tenemos construido el arbol de dos periodos conteniendo la evolución del precio del activo subyacente. Ahora vamos a calcual el payoff a fecha de vencimiento, o lo que es lo mismo, el valor intrínseco de la opción a fecha de vencimiento, ya que en se momento el valor temporal de la opción es cero.

Como se trata de una opción CALL el payoff será:

=MAX(0;S-E)


Ahora iremos hacia atrás buscando el precio de cada rama en el nodo t=1.


El valor de 31,5420561 se obtiene descontando un periodo al 7% el valor esperado que es el producto de los flujos de caja previstos multiplicados por su probabilidad.

( 56,25*0,6 + 0*0,4 ) / (1+0,07) = 31,5420561

La otro rama valdrá cero.

( 0*0,6 + 0*0,4 ) / (1+0,07) = 0

El precio estimado de la opción CALL se obtiene retrocediendo otro periodo hacia atrás.


El valor de la opción 17,6871342 se obtiene descontando un periodo al 7% los valores esperados del nodo 1, lo cual supone sumar los productos de los valores calculados por sus probabilidades respectivas.

( 31,5420561*0,6 + 0*0,4 ) / (1+0,07) = 17,6871342

Observe que con los mismos datos que en el caso del método binomial de un periodo, ahora utilizando dos periodos hemos obtenido un valor estimado de la opción CALL bastante mayor.


Arbol binomial de cuatro pasos (Hoja4)

CALL europea

Aumentamos el número de pasos del árbol binomial. En esta ocasión llegaremos a cuatro pasos para poder analizar el cálculo de la prima de la opción CALL europea.



Creamos el árbol binomial con los posibles precios que alcanzará el activo subyacente S en los diferentes nodos.




Calculamos numericamente los precios del activo subyacente.


Calculamos el payoff a fecha de vencimiento. Se trata de calcular el valor intrínseco del último nodo. Puesto que se trata de una opción CALL el payoff se obtiene con la fórmula

=MAX(0;S-E)

Así, por ejemplo, el valor 56,25 se obtiene como

=MAX(0;156,25-100)


Ahora vamos hacia atrás y calculamos los precios de la opción en el nodo t=3. Para ello, calculamos el valor actual, descontando un periodo al 7%, de los valores esperados del nodo t=4.

Así, el valor de las diferentes ramas del nodo t=4 se obtienen con las siguientes expresiones.

[ 144,140625*0,6 + 56,25*0,4 ] / (1+0,07) = 101,8545561

[ 56,25*0,6 + 0*0,4 ] / (1+0,07) = 31,54205607

[ 0*0,6 + 0*0,4 ] / (1+0,07) = 0


Ahora calcularemos los precios de la opción (celdas amarillas) para el nodo t=2.

[ 101,8545561*0,6 + 31,54205607*0,4 ] / (1+0,07) = 68,90612717

[ 31,54205607*0,6 + 0*0,4 ] / (1+0,07) = 17,68713425


Ya estamos en el nodo t=1.

[ 68,90612717*0,6 + 17,68713425*0,4 ] / (1+0,07) = 45,25096262

[ 17,68713425*0,6 +0*0,4 ] / (1+0,07) = 9,918019204


Finalmente llegamos al nodo t=0 que nos permite estimar la prima de la opción.

[ 45,25096262*0,6 + 9,918019204*0,4 ] / (1+0,07) = 29,08204229




Usando la distribución binomial

Existe una forma alternativa que nos permite llegar a los mismos resultados que hemos obtenido con la construcción completa del árbol binomial. Se trata de usar la distribución binomial para obtener las probabilidades. Veamos las fases que conlleva.

Fase 1

Primero calculamos los posibles precios del activo subyacente a fecha de vencimiento. Se trata de calcular los valores que vimos en las celdas azules del árbol binomial en su último nodo. Para lograrlo vamos a nombrar las cinco ramas comenzando en cero y finalizando en cuatro.


Los cálculos realizados son los siguientes.

  • celda N4 =100*1,25^(4-0)*0,8^0 = 244,140625
  • celda N5 =100*1,25^(4-1)*0,8^1 = 156,25
  • celda N6 =100*1,25^(4-2)*0,8^2 = 100
  • celda N7 =100*1,25^(4-3)*0,8^3 = 64
  • celda N8 =100*1,25^(4-4)*0,8^4 = 40,96

Fase 2

Ahora calculamos el payoff del último nodo. Son las celdas amarillas que se encuentran en el árbol binomial del último nodo y se corresponden con el valor intrínseco de la opción a fecha de vencimiento.


Para una opción CALL se calculan como el máximo entre cero y la diferencia entre el precio del activo subyacente en ese momento y el precio de ejercicio.

=MAX(0;S-E)

Fase 3

Ahora vamos a calcular las probabilidades de cada rama usando la distribución binomial que se encuentran programada en Excel con la función siguiente.

=DISTR.BINOM.N(núm_éxito;ensayos;prob_éxito;acumulado)





  • celda P4 =DISTR.BINOM.N(4-0;4;0,6;0) = 0,1296
  • celda P5 =DISTR.BINOM.N(4-1;4;0,6;0) = 0,3456
  • celda P6 =DISTR.BINOM.N(4-2;4;0,6;0) = 0,3456
  • celda P7 =DISTR.BINOM.N(4-3;4;0,6;0) = 0,1536
  • celda P8 =DISTR.BINOM.N(4-4;4;0,6;0) = 0,0256
La celda C18 calcula el precio estimado de la opción utilizando este método de la distribución binomial, para ello lo que hacemos es multiplicar la columna del payoff (columan O) por la probabilidad binomial (columna P), sumar todos y descontarlo a valor actual al 7% durante 4 años.



La fórmula empleada es la siguiente.

  • celda C18 =SUMAPRODUCTO(O4:O8;P4:P8)/(1+C9)^C12 = 29,0820423


Observalos que ambos procedimientos de cálculo conducen a la misma prima estimada.


Comprobación de probabilidades

La columna P contiene las probabilidades obtenidas con la distribución binomial. También podemos llegar a estas probabilidades usando las columnas Q y R. En la columna Q calculamos las combinaciones necerarias de cada rama. En realidad estamos calculando los valores del triángulo de Pascal. En la columna R multiplicamos esos valores combinatorios por las probabilidades p y 1-p elevadas al índice correspondiente.



Finalmente hemos visto cómo hacer un árbol de cuatro nodos. Ahora se trataría de hacer muchos más nodos de forma automatizaca, usando macros, para comprobar que cuando el número de nodos tiende a infinito el modelo de árboles binomiales converge con el modelo de Black-Scholes.

jueves, 3 de enero de 2019

Temas propuestos

Temas propuestos para desarrollar

  • Información privilegiada (Insider Trading)
  • El riesgo financiero, y sus diferentes tipos
  • El riesgo país y sus sistemas de calificación
  • ETF (Exchange-Traded Funds) Wikipedia
  • Warrants
  • Los splits de acciones
  • Ofertas públicas 
    • Oferta Pública de Adquisición (OPA)
    • Oferta Pública de Venta (OPV)
    • Oferta Pública de Exclusión (OPE) 
  • La Titulización de activos
  • Mercado Financiero de Renta Fija
  • CDS (Credit Default Swaps)
  • Subasta de bonos
  • Índices bursátiles
    • El IBEX35
  • La crisis de deuda pública
  • Basilea III y Basilea IV
  • Seguros de vida
  • Planes de pensiones
  • Fondos de Inversión
  • Sistemas de información de mercados financieros
    • Infobolsa
    • Reuters
    • Bloomberg
  • Fintech (Wikipedia)
  • Las criptomonedas
  • La tecnología blockchain
  • VaR (Value at Risk)
  • La amenaza cibernética y la seguridad de los datos en banca
  • Análisis técnico y fundamental
  • La inteligencia artificial en el campo financiero y actuarial
  • El big data en el campo financiero y actuarial
  • Eficiencia del mercado
    • La cartera del mono
  • Sistemas automáticos de trading (Wikipedia)
    • HFT (High Frequency Trading)
    • Trading algorítmico (Wikipedia
  • El mercado primario de acciones
  • Las plataformas oscuras (dark pools) 

lunes, 12 de noviembre de 2018

Valoración de futuros

La valoración se realiza utilizando argumentos de no-arbitraje. Creamos una cartera sintética que replica el activo analizado, donde no se dan oportunidades de arbitraje.

Supuestos

  • La tasa libre de riesgo es la misma para préstamo y endeudamiento (para tomar y colocar fondos)
    • Este supuesto no se verifica para todos los inversores puesto que existe un diferencial (spreed) entre las tasas activas y pasivas. Para los grandes inversores este diferencial e mínimo, pudiendo trabajar estas grandes entidades en el mercado realizando estrategias de arbitraje que acercan mucho los precios a los teóricos. 
  • No existen oportunidades de arbitraje, o cuando existen se eliminan de forma inmediata.
    • Una persona realiza una oportunidad de arbitraje cuando obtiene una ganancia cierta, sin realizar ninguna inversión inicial
    • Las operaciones de arbitraje que realizaremos presuponen que podemos comprar o vender el activo subyacente.
    • Cuando se detecta un activo sobrevalorado los arbitrajistas lo venden haciendo que su precio caiga y vuelva al de equilibrio (al teórico). Cuando detectan un activo infravalorado lo compran haciendo que su precio suba y vuelva al de equilibrio.
  • Se pueden hacer ventas en descubierto, o bien el activo subyacente es mantenido por un gran número de inversores con fines exclusivos de inversión. En las operaciones de arbitraje, en ocasiones, es necesaria la venta del activo subyacente, que se puede resolver mediante estos dos métodos.
    • Si no se dispone del activo subyacente, se supone que se pueden hacer ventas en descubierto. Esto es, se puede vender un bien que no se posee: se 'pide prestado' el bien y se vende en el mercado de contado. Transcurrido un tiempo determinado se compra el bien en el mercado de contado y se devuelve para cerrar la posición en descubierto. Si durante ese tiempo el activo paga cupones (en el caso de bonos) o dividendos (en el caso de acciones) estos se deben pagar al prestamista del activo.
    • Si las ventas en descubierto no están permitidas se supondrá que el activo subyacente es un activo de inversión que poseen gran número de inversores y que si detectan una oportunidad de arbitraje no dudarán en desprenderse del activo ya que no se trata de un activo de control, sino meramente financiero.

Caso general

La forma de determinar el valor de un Forward se obtiene capitalizando el precio de contado actual del activo subyacente,  a la fecha futura, empleando cierta tasa de interés.
F = S (1 + r)n
F → Precio del forward. Contratado en t=0 al que se comprometen a realizar la transacción ambas partes. Se pagará a fecha de vencimiento, en t=n.
S → Precio del activo subyacente en el mercado de contado a fecha t=0.
r → Tasa de interés libre de riesgo
n → Plazo del contrato

Deducción de la fórmula

Veamos una tabla con tres activos.
  • una acción o cartera de acciones
  • un forward vendido
  • un bono vendido 
La tabla tiene tres columnas, donde las dos últimas representan momentos diferentes del tiempo.
  • columna t=0, representa el momento actual de firma del contrato forward
  • columna t=n, representa el momento final, donde vence el contrato y se ha de realizar el pago y entregar el bien

t=0  t=n 
Forward comprado Sn - F
Acción comprada Sn  
Bono vendido  -F(1+r)-n  -F 

Si sumamos para t=n las dos última filas obtenemos Sn - F que es el valor del forward comprado en t=n. Por tanto si dos activos sumados (acción comprada y bono vendido) valen lo mismo que otro activo (forward comprado) a fecha de vencimiento (t=n) también valdrán lo mismo en el instante t=0. Esto nos permite igualar a cero la suma de S y -F(1+r)-n .
La igualdad quedaría así
S-F(1+r)-n=0
de donde podemos despejar F, y obtendremos la fórmula general que permite valorar un forward.
F = S (1+r)n

Otra forma de verlo, introduciendo una fila más que representa el total de la cartera que es suma de las tres filas previas.

t=0  t=n 
Acción comprada Sn 
Forward vendido  F-Sn  
Bono vendido  -F(1+r)-n  -F 
TOTAL cartera  S-F(1+r)-n 

La valor de la cartera total se obtiene sumando los valores de los tres activos que la componen (acción, forward vendido y bono vendido). Observamos que el valor de la cartera a fecha de vencimiento que se obtiene haciendo la suma es cero. Y el valor de la cartera en t=0, obtenido haciendo la suma es S-F(1+r)-n
Ahora igualaremos este valor a cero puesto que cero euros en t=n valen cero euros en t=0.
S-F(1+r)-n =0
De la expresión anterior podemos despejar el valor del forward
F = S (1+r)n

Gráficamente

  • Representamos en vertical tres gráficos. Se representa en vertical para ver mejor que la suma de los dos primeros nos da el tercero.
  • En abcisas representamos el precio del activo subyacente (la acción) a fecha de vencimiento t=n. En ordenadas representamos el valor del activo a fecha de vencimiento.
  • Gráfico de la acción.
    • Es una línea recta de 45º grados, ya que los dos ejes (abcisas y ordenadas) son el mismo.
  • Gráfico del bono vendido o emitido. Se trata de un bono cupón cero, que no paga intereses y únicamente se percibirá el nominal a fecha de vencimiento. Hacemos que el nominal sea de importe F. Como es un bono vendido o emitido su valor es negativo ya que el emisor tendrá que devolver el nominal llegada la fecha de vencimiento. El gráfico es una recta horizontal ya que el valor del bono a fecha de vencimiento no varía ante los diferentes precios que pueda tomar la acción.
  • Gráfico del futuro (o forward) comprado. Es una recta creciente de 45º que corta el eje horizontal en el punto donde Sn =F.



Se puede ver que si al gráfico de la acción se le desplaza hacia abajo un escalón de importe -F, que es justo el bono vendido, lo que se obtiene es el gráfico del futuro.

Relación

  • Gráficamente podemos observar que se cumple la relación siguiente.
    • Futuro = Acción - Bono
  • Cuando el activo es positivo indica que es comprado y cuando es negativo indica que es vendido o emitido.
  • De esta forma, la fórmula anterior se puede expresar diciendo que:
  • Un futuro comprado se puede replicar comprando la acción (el activo subyacente) y emitiendo un bono cupón cero al mismo plazo.
  • Gracias a que tenemos la ecuación podemos despejar de otra forma, por ejemplo:
    • Bono = Acción - Futuro
  • La fórmula anterior se puede expresar diciendo que podemos simular un bono cupón cero sintético comprando la acción y vendiendo el futuro.

Notación

  • m0 → fecha en la que se firma un contrato forward
  • mT → fecha de vencimiento
  • T = mT - m0 → plazo en días entre la realización del contrato y la entrega
  • St = Sm → precio del activo subyacente en el instante t (t días después de haber firmado el contrato) o bien en la fecha m. El subíndice nos indica el momento en el que tomamos el precio del subyacente en el mercado spot.
  • K= F0 = Fm0 → precio pactado de entrega
  • Ft = Fm → precio Forward (o Futuro) del subyacente en el momento t (o en la fecha m). Es el precio de entrega que debería acordarse si el contrato se firmara en ese momento.
  • δ(m;t)  → tasa de interés anual con capitalización continua, vigente en el instante m para préstamo o endeudamiento hasta un plazo t
El precio calculado para un forward y para un futuro coinciden cuando la tasa de interés libre de riesgo es constante para todos los vencimientos.

Activos sin flujos de fondos

En este caso consideramos que durante el tiempo de duración del contrato el activo subyacente no genera cobros ni pagos. Por ejemplo, si se trata de un bono no se paga cupón, y si se trata de acciones no pagan dividendo durante el tiempo de vigencia del contrato.

Precio de entrega

El valor de un contrato forward en el momento de la firma es cero puesto que ambas partes establecen las condiciones para que exista un equilibrio y contratan libremente.
El precio de entrega (K) del forward es el precio que se pacta en t=0. Es el precio al que se comprometen comprador y vendedor y que se ejecutará llegada la fecha de vencimiento del contrato.
K = F0 = S0 · exp(δ(m;t) · T/365)

Características de los contratos

Forwards

  • Los contratos forwards o contratos a término se negocian el los mercados OTC (Over The Counter).
  • Se realizan, normalmente, entre dos entidades financieras, o entre una entidad financiera y uno de sus clientes.
  • Se negocian libremente las condiciones de forma que el valor del contrato inicialmente es cero.
  • Existe riesgo de crédito ya que existe riesgo de incumplimiento del deudor. Al contratar se ha de analizar la solvencia de la otra parte. 

Resultado del contrato

  • Posición compradora. Se toma esta posición si se prevé que el precio del subyacente suba, ya que se confía en comprar a un precio fijo (F) a fecha de vencimiento (t=n) cuando en esa fecha se espera que el precio del subyacente Sn sea mayor. Si lo que compra por F lo vende inmediatamente por Sn ganará la diferencia (Sn -F). Si el comprador del forward acierta en sus previsiones obtendrá una ganancia y en caso contrario una pérdida.
    • Ejemplo. Contrato forward a tres meses por un precio de entrega de 100 €. Llegado el vencimiento el precio del activo subyacente en el mercado de contado es de 110 €. El beneficio de la parte que tomó la posición larga será 110-100 = 10 €. El resultado del inversor que tomó la posición corta será negativo -10 €.
    • Gráfica. El futuro (o forward) comprado se representa mediante una línea recta creciente con un ángulo de 45º, que cotar el eje horizontal en  Sn=F. En abcisas se representa Sn el precio del activo subyacente a fecha de vencimiento. En ordenadas se representa el beneficio (+) o pérdida (-) obtenido por el comprador del forward.
    • El comprador de un forward podría obtener una pérdida máxima de F en caso de que el activo subyacente a fecha de vencimiento sea cero Sn=0 y la ganancia máxima que podría obtener es ilimitada. 
  • Posición vendedora. Se toma esta posición si se prevé que el precio del subyacente baje, ya que se confía en vender a un precio fijo (F) a fecha de vencimiento cuando en esa fecha se espera que el precio del subyacente Sn sea menor. Si lo que vende por F lo compra simultáneamente por Sn ganará la diferencia (F-Sn). Si el vendedor del forward acierta en sus previsiones obtendrá una ganancia y en caso contrario una pérdida.
      • Ejemplo. Contrato forward a tres meses por un precio de entrega de 100 €. Llegado el vencimiento el precio del activo subyacente en el mercado de contado es de 80 €. El beneficio de la parte que tomó la posición corta será 100-80 = 20 €. El resultado del inversor que tomó la posición larga será negativo -20 €.
      • Gráfica. El futuro (o forward) vendido se representa mediante una línea recta decreciente con un ángulo de -45º, que cotar el eje horizontal en  Sn=F. En abcisas se representa Sn el precio del activo subyacente a fecha de vencimiento. En ordenadas se representa el beneficio (+) o pérdida (-) obtenido por el comprador del forward.
      • El vendedor de un forward podría obtener una ganancia máxima de importa F, mientras que la pérdida teórica podría ser ilimitada. 

    Evolución del precio

    Un forward se pacta inicialmente, en t=0, libremente entre las dos partes, por lo que en ese momento el valor del contrato es cero. Una vez firmado, en una fecha posterior el contrato puede tener ya un valor positivo o negativo en función de cómo han evolucionado las siguientes variables:
    • precio de contado del subyacente
    • tipo de interés
    • proximidad a la fecha de vencimiento

    Futuros

    • Un contrato de futuros supone un acuerdo de transacción del activo subyacente en una fecha futura preestablecida y a un precio fijado en el momento de la firma del contrato.
    • Se negocian en mercados formales, lo cual supone operar mediante un broker en un mercado de valores regulado.
    • Las características del contrato están estandarizadas, fijándose cantidades y calidades estandarizadas en clases y series. Las clases se refieren a un mismo activo subyacente y las series pertenecen a la misma clase con diferentes fechas de vencimiento.
    • Vigencia: un contrato puede ser negociado desde la fecha de emisión o puesta en mercado, hasta el último día de negociación.
    • Garantías
      • Cámara de compensación → Depósito de garantía
      • Cuenta abierta con el broker
      • Anotación en cuenta de los resultados obtenidos
      • Se liquidan diariamente pero el resultado se materializa en la fecha de vencimiento 
      • El riesgo de crédito (posibilidad de incumplimiento del deudor ) se reduce al mínimo ya que es el mercado (cámara de compensación) quien se encarga de garantizar la liquidación o entrega.
    • Normalmente los contratos de futuros se cierran antes de la fecha de vencimiento
    • Para cerrar un contrato se toma la posición contraria a la contratada inicialmente 

    Contratos forward y contratos de futuros

    Características de los contratos diferidos

    Contratos forward (Forward Contract) y contratos de futuros (Future Contract).

    Definición

    Un contrato diferido es un contrato bilateral en el que una parte se compromete a comprar y la otra a vender el activo subyacente en una fecha futura establecida, a un precio determinado.

    Elementos del contrato

    • Activo subyacente (underlying asset) es el bien que se acuerda intercambiar. Se ha especificar la cantidad y características.
    • Precio de entrega (delivery price)
    • Fecha de vencimiento (maturity) es la fecha en la que se realizará la transacción. En esa fecha se entrega el bien y se paga el precio convenido.

    Intervinientes en el contrato


    Posición compradora o posición larga (long position) es la persona que se compromete a comprar. Se dice que esta persona 'entra en largo' en el contrato.
    Posición vendedora o posición corta (short position) es la persona que se compromete a vender. Se dice que esta persona 'entra en corto' en el contrato.

    Funcionamiento del mercado


    Tipos de mercado

         Mercados informales = OTC (Over The Counter).
    • Se negocian los contratos forward.
    • Se pactan libremente entre las partes.

         Mercados formales = Bolsas (mercados de valores).
    • Se negocian los contratos de futuros.
    • Existen unas reglas del mercado y de los contratos negociados.
    • Para contratar en una bolsa se ha de hacer mediante un Broker, con el que se ha de mantener una cuenta, en la que se entregará el depósito de garantía (margen) que se ampliará en caso de movimientos adversos en el precio del futuro.
    • El broker debe mantener una cuenta con la cámara de compensación (clearing house). Esa cuenta mantendrá siempre el margen inicial requerido y liquidará diariamente las pérdidas y ganancias.

    Liquidación de contratos

    Los contratos pueden liquidarse mediante:
    • Entrega del bien. En algunos mercados es obligatoria la liquidación a vencimiento mediante la entrega del bien. Incluso en estos casos los inversores pueden evitar dicha entrega haciendo una operación contraria que compense su posición antes de la fecha de vencimiento.
    • Por diferencias. En algunos mercados no se produce la entrega del activo subyacente a fecha de vencimiento y el contrato se liquida por diferencias ente el precio pactado y el precio de contado del activo subyacente justo en la fecha de vencimiento.

    Ejemplos

    • En los contratos sobre tipos de interés se liquida por diferencias entre el tipo de interés pactado y el tipo de interés que existe llegada la fecha de vencimiento. Esta diferencia de tipos se aplica sobre un cierto capital de referencia denominado 'nocional' (no es una errata, se llama nocional).
    • En la liquidación sobre índices se podría obligar a la entrega de una cartera representativa del índice, pero no es lo habitual. Se liquidan por diferencias en efectivo.

    Liquidación por diferencias

    Sn → Precio de contado (spot) a fecha de vencimiento.
    F → Precio pactado en el futuro (o forward)
    En la liquidación por diferencias, si a fecha de vencimiento:
    • Sn > F  entonces el vendedor pagará al comprador el importe Sn - F  
    • F > Sn  entonces el comprador pagará al vendedor el importe F - Sn  Ejemplo: Sn = 90, F=100. El comprador se comprometió a comprar por 100 € lo que en el mercado vale 90 € a fecha de vencimiento, por tanto pierde 10 €.