miércoles, 7 de septiembre de 2011

Sucesiones y series geométricas

¿Qué es una sucesión?

Una sucesión es una lista de números seguidos uno de tras de otro en cierto orden. Habitualmente este listado de números se separa por comas.

Ejemplo 1

Esta es una sucesión de números cualesquiera.

2, 9, 16, 245, 3, 72, 106, 942, 2, 79

Ejemplo 2

Esta es una sucesión de números que siguen una progresión aritmética de diferencia 4.

23, 27, 31, 35, 39, 43, 47, 51, 55, 59

Una progresión aritmética se caracteriza porque para pasar de un valor al siguiente se ha de sumar una cantidad fija que se llama diferencia de la progresión.

Ejemplo 3

Esta es una serie de números que siguen una progresión geométrica de razón 1,1. En este caso los escribiremos en columna.

  • 100.000
  • 110.000
  • 121.000
  • 133.100
  • 146.410
  • 161.051
  • 177.156,1
  • 194.871,71

Una progresión geométrica se caracteriza porque para pasar de un valor al siguiente se ha de multiplicar por un valor fijo que se denomina razón de la progresión geométrica.

  • Si la razón es 1,1 se producen incrementos del 10% al pasar de un valor al siguiente
  • Si la razón es 1,07 se producen incrementos del 7%
  • Si la razón es 1,12 se producen incrementos del 12%
  • Si la razón es 1,03 se producen incrementos del 3%
  • Si la razón es 0,98 se producen disminuciones del 2%
Los incrementos, o disminuciones se producen de forma acumulada, que es la característica distintiva de las progresiones geométricas.

Si representamos gráficamente una progresión geométrica obtenemos una serie de puntos que si dibujáramos de forma continua darían lugar a una EXPONENCIAL.

Tomando los valores del ejemplo 3 que van en progresión geométrica de razón 1,1 y haciendo una lista de 20 valores para que se vea mejor, vamos a representar el gráfico de la geométrica, donde se ve muy bien que es una exponencial, si unimos todos los puntos.




¿Qué es una serie?

Una serie es la suma de los términos de una sucesión. Se han de especificar cuantos términos estamos sumando. Existen dos casos:

  • Sumar n términos, siendo n un número finito
  • Sumar n términos, siendo n un número que tiende a infinito

Gauss cuando era niño

Gaus fue uno de los más geniales matemáticas que ha conocido la humanidad. Puedes leer algo sobre él en la Wikipedia: Gauss.

Se dice que cuando estudiaba en la escuela y era muy pequeño la maestra ordenó a todos los niños de la clase sumar los números del 1 al 100. La maestra pensando que así les tendría entretenidos media mañana se relajó un momento hasta que al poco tiempo uno de los niños dijo que ya tenía la suma. La maestra no salía de su asombro y ese niño naturalmente era nuestro pequeño Johann Carl Friedrich Gauss.

Nuestro singular personaje no se lanzó a sumar los números a toda velocidad.

1 + 2 + 3 + 4 + 5 + ·············· + 96 + 97 + 98 + 99 + 100

Mas bien observó que si tomaba los números por parejas comenzando por el principio y por el final de la lista, siempre obtenía la misma suma por cada pareja:

  • 1 + 100 = 101
  • 2 + 99 = 101
  • 3 + 98 = 101
  • 4 + 97 = 101
  • 5 + 96 = 101
  • ·······
  • 50 + 51 = 101
Vio que podía obtener 50 parejas y que todas ellas sumaban 101, por lo que simplemente multiplicó el número de parejas por su valor, obteniendo el resultado en un tiempo record.

50 * 101 = 5.050

Puedes ver un vídeo (in english) que cuenta esta historia.


También dispones de un vídeo en español: http://youtu.be/lOjGUvcZnAg

Una película recomendable sobre la vida de Gauss: Midiendo el mundo. Veamos una escena del film donde Gauss siendo pequeño demuestra sus dotes matemáticas.



Series aritméticas

Veamos la suma de los n términos de una sucesión de números, donde el primero de ellos es a1 o simplemente a y el último de ellos es an. La diferencia de la progresión es d.

Los términos de la sucesión que debemos sumar son los siguientes:

  • a1=a
  • a2=a+d
  • a3=a+2d
  • a4=a+3d
  • ·······
  • an=a+(n-1)d
Vamos a denominar a la suma de los n primeros términos de la progresión como Sn

La suma de los n primeros términos de una progresión aritmética viene dada por la siguiente fórmula.

Sn=(a1+an)*(n/2)

Observar que es la misma fórmula que descubrió Gauss cuando era niño.


Series geométricas


Ejemplo 1

Calcular la suma de los 10 primeros valores de una progresión geométrica de primera cuantía 8 y razón 2

Sn = 8 + 8*2 + 8*2^2 + 8*2^3 + ········ + 8*2^9

Sn = 8 + 16 + 32 + 64 + ········ + 4.096

Sn = 8(1-2^10)/(1-2) = 8.184

Ejemplo 2

Calcular el valor actual de una renta pospagable de 10 años de duración y cuantía constante 100 €, que se valora al 10% anual.

Nos piden que valoremos una renta de 10 términos anuales constantes de 100 € que tendremos que descontar el número de años necesarios hasta llegar a t=0.

  • Los primeros 100 € se deben descontar 1 año convirtiéndose en 100/1,1
  • Los segundos 100 € se deben descontar 2 años convirtiéndose en 100/1,1^2
  • Los terceros 100 € se deben descontar 3 años convirtiéndose en 100/1,1^3
  • ....
  • Los últimos 100 € se deben descontar 10 años convirtiéndose en 100/1,1^10

El valor actual será la suma de estos 10 valores descontados.

VA = 100/1,1 + 100/1,1^2 + 100/1,1^3 + ········ + 100/1,1^10

La suma anterior constituye la suma de los n primeros términos de una progresión geométrica donde el primer término a es 100/1,1 y la razón de la progresión es 1/1,1, que es el número por el que vemos que se ha tenido que multiplicar a un sumando para obtener el siguiente.

Aplicando la fórmula de la suma de los n términos de una progresión geométrica obtenemos lo siguiente.

VA = (100/1,1)*(1-(1/1,1)^10) / (1-(1/1,1)) = 614,4567106

Podemos comprobar que el valor obtenido es el correcto utilizando la función VA

=VA(10%;10;-100)

La función VA ya se estudiará con más detalle. Ahora baste conocer su sintaxis.

=VA(tasa;nper;pago;vf;tipo)

donde

  • tasa es la tasa de descuento. En este caso es el 10%
  • nper es el número de términos de la renta. En este caso son 10 términos
  • pago es el importe de la cuantía constante. Se ha de poner negativo para que el VA de positivo
  • vf es el valor final. Hace referencia a un pago adicional que se tuviera que abonar al final de la operación. En este caso no existe tal pago adicional
  • tipo no es el tipo de interés. Hace referencia al tipo de renta. Si no se pone nada se entiende que es una renta pospagable, y si fuera prepagable se ha de poner un cero (0) o poner la palabra FALSO



Series geométricas infinitas




Ejemplo 3

Calcular la suma de los infinitos términos de una progresión geométrica de primera cuantía 8 y de razón 2.

En este caso la suma se hace infinito ya que la razón no cumple el criterio de convergencia. Unicamente convergen las series que cumplen que la razón (r) está entre -1 y +1, sin incluir ambos extremos.

Únicamente obtendremos valores finitos (convergentes) cuando se cumpla que:

-1 < r < +1

Ejemplo 4

Calcular el valor actual de una renta perpetua, pospagable y de cuantía constante 100 €, que se valora al 10% anual.

Este caso es similar al del ejemplo 2 pero ahora se trata de una renta perpetua.

Se trata de descontar uno a uno los infinitos términos de la renta. Obtendríamos lo siguiente:

VA = 100/1,1 + 100/1,1^2 + 100/1,1^3 + ········ + 100/1,1^10  + ········

Observamos que los sumandos van en progresión geométrica siendo el primero (a) y la razón (r) lo siguientes.
  • a = 100/1,1
  • r = 1/1,1
La razón cumple que está entre -1 y +1, ya que es:

1/1,1 = 0,909090909

Aplicamos la fórmula de la suma de los infinitos términos de una progresión geométrica.

S = a / (1-r) = (100/1,1) / (1-(1/1,1)) = 1.000

Podemos comprobar el resultado obtenido con la función VA poniendo un número muy elevado de periodos, por ejemplo 500.

=+VA(10%;500;-100)

Audio

5 comentarios:

  1. La película es la escena final de Blade Runner.Demasiado buena.

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  2. Hola Victor.

    Efectivamente esta es la famosa película Blade Runner, para mi la mejor.

    Se basa en una novela de calidad regularcilla de Philip K. Dick denominada "¿Sueñan los androides con ovejas eléctricas?"

    La película del director Ridley Scott es simplemente sublime. La música de Vangelis es espectacular.

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    1. Estoy de acuerdo contigo acerca de la regularcilla calidad de la novela :D

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  3. Hola Adolfo,

    las series geométricas infinitas ¿Entran en el examen?

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