sábado, 13 de marzo de 2021

Paseo aleatorio en dos dimensiones

Puede descargar el archivo de Excel borracho.xlsm

Contenido

  1. Concepto
  2. Random Walk en una dimensión
  3. Random Walk en dos dimensiones
  4. Random Walk en tres dimensiones
  5. Random walk 2D en Python


Concepto

Un Random Walk es un proceso estocástico que describe un camino consistente en realizar una serie de pasos aleatorios.

Esa trayectoria aleatoria se puede dar en una dimensión, en dos dimensiones, en tres o más dimensiones.

Random Walk en una dimensión

Hoja1

En el archivo descargable indicado a inicio de este post encontramos un paseo aleatorio unidimensional. Si se interpreta como saltos dentro de una recta, se trataría de ver saltos a la derecha o izquierda respecto de la posición que se tiene en cada momento. Esto es, dada una posición inicial (1.000) se trataría de ir hacia la derecha o hacia la izquierda un paso de longitud el 3% de esa posición inicial.

Otra forma de interpretarlo es verlo como una serie temporal, a lo largo de un eje de tiempos.


Hoja2

Ahora vamos a crear un conjunto de 20 series de que contienen 2.000 saltos aleatorios cada una de ellas. En el gráfico siguiente hemos tomado escala logarítmica para que se pueda ver mejor el rango de variación de las curvas.



Random Walk en dos dimensiones

Podemos crear un paseo aleatorio en dos dimensiones. Esto también se conoce como el caminar del borracho. Vea la Hoja3.

Supongamos un borracho que parte de un punto central en el plano cartesiano, el punto (0,0). El borracho puede dar pasos de longitud r, donde inicialmente hacemos que r sea igual a 1. Podríamos pensar en pasos de un metro de longitud. La dirección hacia la que se dirige es aleatoria, de forma que el ángulo puede ser cualquiera entre 0º y 360º.

Para transformar estas dos variables (r que es el radio y θ que es el ángulo) usamos el concepto de coordenadas polares y como se transforman en las conocidas coordenadas cartesianas del plano.



 

Para enseñar a programar a los niños existe un adorable programa denominado Turtle Art con el que se pueden hace figuras geométricas y dibujos en general. Si usamos números aleatorios podemos ver una imagen donde explicamos a los niños que la tortuga se ha vuelto loca.





Random Walk en tres dimensiones

El concepto de random walk comenzó en 1827 cuando el botánico Robert Brown estudió el movimiento del polen. También es importante la aportación de Albert Einstein de 1905 sobre el movimiento browniano de pequeñas partículas.

Matemáticamente se podría estudiar el movimiento aleatorio en más de tres dimensiones. Aunque perdemos la representación gráfica, esto no es problema ya que, podemos utilizar matrices o en programación arrays.


Random walk 2D en Python


Veamos cómo programar un paseo aleatorio en dos dimensiones en Python.

Código en repl.it


# El caminar del borracho  
# Un paseo aleatorio en dos dimensiones  
# Se parte del punto (0,0) del plano cartesiano  
# Cada paso que se da es de longitud r  
# El ángulo con el que se da cada paso es aleatorio  
import random  
import math  
import matplotlib.pyplot as plt  
random.seed()  
n=100 # número de pasos  
r=1 # longitud del paso  
x=y=0 # punto de partida (x,y)=(0,0)  
listax=[x]  
listay=[y]  
for i in range(n):  
  angulo=random.random()*math.pi*2 # en radianes  
  x+=r*math.cos(angulo)  
  y+=r*math.sin(angulo)  
  listax.append(x)  
  listay.append(y)  
plt.plot(listax,listay)  
plt.show()  



Veamos el código para dos paseos aleatorios.

import random  
import math  
import matplotlib.pyplot as plt  
random.seed()  
n=100000 # número de pasos  
r=1 # longitud del paso  
x1=y1=x2=y2=0 # punto de partida (x,y)=(0,0)  
lista1x=[x1]  
lista1y=[y1]  
lista2x=[x2]  
lista2y=[y2]  
for i in range(n):  
  angulo1=random.random()*math.pi*2 # en radianes  
  angulo2=random.random()*math.pi*2 # en radianes  
  x1+=r*math.cos(angulo1)  
  y1+=r*math.sin(angulo1)  
  x2+=r*math.cos(angulo2)  
  y2+=r*math.sin(angulo2)  
  lista1x.append(x1)  
  lista1y.append(y1)  
  lista2x.append(x2)  
  lista2y.append(y2)  
plt.plot(lista1x,lista1y)  
plt.plot(lista2x,lista2y,'--r')  
plt.show()  






En tres dimensiones sería como ver el revoloteo de un moscardón algo ebrio.


miércoles, 3 de marzo de 2021

Modelo CAPM de valoración de activos

La formación de una cartera de valores óptima. El modelo de Markowitz

Cartera

El concepto de cartera, en la acepción que nos interesa, hace referencia al conjunto de valores mobiliarios que una persona física o jurídica posee en un momento determinado y que forman parte de su patrimonio.

En inglés el término empleado es el de portfolio. En general, la cartera puede contener cualquier activo financiero, si bien normalmente entenderemos que está compuesta por un conjunto de acciones.

Cuando hablamos de 'selección de carteras', estamos hablando naturalmente de 'selección de acciones'.

Una buena cartera es más que una larga lista de acciones (en general, activos financieros), es en su totalidad un buen equilibrio que proporciona al inversor la protección y oportunidades con respecto a un amplio rango de contingencias.

El inversor debería construir su cartera en función de sus necesidades y objetivos particulares.

La finalidad de la formación de carteras puede ser:

  • Controlar una determinada empresa
  • Rentabilizar transitoriamente cierto capital
  • Procurar evitar el efecto de la erosión monetaria del dinero, invirtiendo en acciones que guarden estrecha correlación con el índice general de precios. Se trataría de una inversión a largo plazo.
  • Colocar a largo plazo los excedentes de rentas (ahorro) con el fin de disfrutar posteriormente de una renta complementaria.
  • Diversificación de la inversión
  • Otros motivos: ahorro fiscal, prestigio, coleccionismo, ...

En general el inversor, a la hora de formar una cartera, trata de combinar los diferentes activos individuales de tal modo que el activo mixto resultante o cartera garantice una rentabilidad, seguridad y liquidez 'aceptables', Si bien, estos tres objetivos de toda inversión financiera son normalmente incompatibles entre sí.

La inversión en valores mobiliarios es una típica inversión financiera, que como tal, tiene una serie de características que la diferencian de las inversiones productivas o en activos reales. Tales características son:

  1. Fraccionabilidad. Aunque no podemos invertir en menos de un título, lo cierto es que el valor de éstos suele ser normalmente de reducido importe para facilitar la inversión del pequeño ahorrador. Pero en el caso de que el importe fuese mayor, estaríamos probablemente en un mercado dirigido a inversores de mayor entidad que seguirían considerando el precio de un título como una pequeña fracción de su capacidad de inversión. Por ello, en teoría aceptamos la fraccionabilidad de la inversión, cosa que normalmente no sucede con inversiones productivas.
  2. Liquidabilidad. Los activos financieros disponen normalmente de mercados secundarios desarrollados que permiten que el inversor conozca en todo momento bastante bien, con aceptable grado de objetividad, el valor de realización de su cartera. El inversor puede fácilmente liquidar su inversión, cosa que no sucede en las inversiones productivas.
  3. Diversificabilidad. Como consecuencia de la fraccionabilidad de la inversiones financieras, el inversor puede distribuir sus recursos (propios o ajenos) entre una amplia gama de activos. Esto reporta una gran ventaja como veremos posteriormente, a saber, reducir el riesgo de su inversión.
  4. Flexibilidad temporal. Las inversiones productivas comprometen a los inversores normalmente durante un largo periodo de tiempo. Las inversiones en activos financieros, debido a sus característica de poseer un elevado grado de liquidez, permiten al inversor realizarlas fácilmente en prácticamente cualquier momento del tiempo y con la liquidez obtenida proyectar nuevas inversiones.
Dos son las vías mediante las que se obtiene rentabilidad de una inversión financiera o cartera:
  1. Rentabilidad en sentido estricto. En forma de dividendos en el caso de títulos de renta variable (acciones) o intereses cuando se trata de títulos de renta fija. Los derechos de suscripción preferente cuando son vendidos por su titular no constituyen, en realidad, una fuente de rentabilidad, sino una forma de realizar parcialmente la parte alícuota que le corresponde en las reservas que la empresa ha ido acumulando por cuenta de sus accionistas. Si el mercado secundario funciona con cierto grado de eficiencia, la cotización de las acciones disminuirá en la proporción necesaria como para compensar esa aparente o falsa fuente de rentabilidad.
  2. Las ganancias de capital. Son las que se producen al vender en el mercado secundario los títulos por un precio superior al de adquisición (plusvalía). Si bien dichas ganancias se tornan pérdidas cuando se realizan los títulos por un precio inferior al de adquisición (minusvalías).

El nacimiento de la teoría de la selección de carteras. Las aportaciones de Markowitz y Tobin


La teoría de selección o formación de carteras nace con las aportaciones de Markowitz (1952) y Tobin (1958). Posteriores aportaciones de otros autores han contribuido a su perfección y desarrollo.

La gran aportación de Markowitz fue establecer lo que podríamos denominar la conducta racional del inversor, sin restar méritos a su tratamiento analítico. La conducta racional del inversor consiste en que éste formará o seleccionará su cartera de forma que maximice la rentabilidad para un nivel de riesgo determinado, o que minimice el riesgo de la cartera para una cierta rentabilidad dada.

El inversor se encuentra presionado por dos fuerzas de sentido contrario:
  • el deseo de ganancias
  • la aversión al riesgo
En función de sus preferencias personales elegirá una cierta combinación rentabilidad / riesgo.

 



lunes, 1 de marzo de 2021

Modelo de equilibrio de activos financieros

  1. Introducción
  2. Mercado eficiente
    1. Los cambios de precios son aleatorios (random walk)
    2. Tres versiones del mercado eficiente
      1. Forma débil de eficiencia
      2. Forma semifuerte de eficiencia
      3. Forma fuerte de eficiencia
  3. La formación de una cartera de valores óptima. El modelo de Markowitz
  4. El nacimiento de la teoría de la selección de carteras. Las aportaciones de Markowitz y Tobin
  5. El rendimiento y el riesgo de un activo financiero
  6. La rentabilidad se ajusta a una distribución normal
  7. Rendimiento y riesgo de una cartera
  8. El modelo de selección de carteras de Markowitz. La regla de decisión medi-varianza
  9. Determinación del conjunto de carteras eficientes
  10. CAPM (Capital Asset Pricing Model)
    • La cartera del mercado
  11. Línea del mercado de capitales. CLM (Capital Market Line)
    1. Hipótesis del CAPM
    2. Beta. Volatilidad
    3. Riesgo sistemático (sistémico) y riesgo específico
  12. Línea del mercado de valores. SML (Security Market Line)
    • Cartera eficiente
  13. Resumen gráfico
  14. Críticas al CAPM
  15. Líneas de investigación
  16. Referencias


Introducción

El CAPM (Capital Asset Pricing Model) es el modelo de valoración de activos financieros (AF) que ha demostrado su validez al ser contrastado con la realidad.

El tema aquí recogido se encuadra en la temática de los activos financieros y de los mercados de capitales, en el marco del razonamiento económico. La bolsa solo es una parte del mercado de capitales.

Los mercados de capitales o la bolsa constituyen novedades relativas dentro de la ciencia económica.

Es conveniente conocer los mecanismos de trasvase temporal (a lo largo del tiempo) de recursos y la conversión de ahorro en inversión, sea financiera o real.

Economía financiera (financial economics)

Afortunadamente desde hace algunas décadas está surgiendo un área de especialización nueva dentro de la Economía cuyos temas contemplan:

  • la oferta y demanda de activos financieros
  • el comportamiento de los demandantes de AF
  • los procesos de creación de AF
  • la interacción y formación de precios a través de los mercados
  • la microestructura económica de los mercados
  • la importancia de los mercados para la transmisión de la política monetaria y financiera
  • la innovación financiera
  • ... ... ...

todo ello desde la perspectiva metodológica de la Economía y con un tratamiento predominantemente analítico y empírico.

Se trata de un área interdisciplinar con aportaciones de:

  • economía de la empresa
  • micro y macroeconomía
  • equilibrio general dinámico
  • teoría de la incertidumbre
  • teoría de la información

Está enlazada con la teoría monetaria:

  • El dinero es un activo peculiar que guarda relaciones de sustitución con el resto de AF
  • Los efectos de la política monetaria y financiera se producen precisamente a través de los mercados de capitales por acción de:
    • variación de los agregados monetarios y financieros
    • variación de los tipos de interés

El CAPM es le modelo sobre el que gravita la moderna economía financiera.